El Teorema π de Buckingham

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Hoy me preguntaron por el significado del Teorema π de Buckingham, cuya existencia desconocía. Después de leer un poco me parece útil e interesante; es un teorema sencillo de enunciar y de demostrar, que no recuerdo haber discutido en los cursos de la licenciatura. Se trata de la formalización del análisis dimensional. (Por supuesto, como dicta la ley de eponimia de Stigler, el teorema no fue formulado primero por Buckingham.)

Imaginemos que existe una relación entre $n$ cantidades físicas ${x_1, x_2, \ldots, x_n}$ que pueden expresarse en términos de $r$ unidades fundamentales ${u_1, u_2, \ldots, u_r}$. (Por ejemplo, en problemas de mecánica introductoria típicamente estas serán unidades de distancia, masa y tiempo.) La dimensión $[x_i]$ de una cantidad $x_i$ satisfacerá
\[ [x_i] = {u_1}^{\alpha^{1i}} {u_2}^{\alpha^{2i}} \ldots {u_r}^{\alpha^{r i}}, \]
en donde los exponentes $\alpha^{Ai}$ son normalmente números racionales. (Aquí los índices minúsculos corren sobre las $n$ cantidades físicas y los mayúsculos sobre las $r$ unidades.) Por ejemplo, la energía cinética, escrita en términos de $ u_1= m, u_2= s$ y $u_3=kg$, tiene unidades
\[ [K] = {u_1}^{2} {u_2}^{-2} {u_3}^{1},\]
que podemos también representar como un vector
\[ [K] = \pmatrix{ 2 \cr -2 \cr 1 } .\]
Una cantidad será adimensional si todos sus exponentes son nulos.

Ahora, el teorema. Si consideramos la matrix rectangular $r \times n$ con entradas $\alpha^{A i}$, podemos elegir un conjunto de $n-r$ variables adimensionales en términos de las cuáles re-expresar el problema. Estas nuevas variables son productos de la forma
\[
\pi_j={x_1}^{\beta^{1j}}\cdots {x_n}^{\beta^{nj}}
\]
en donde $j=1,2,\ldots,n-r$. El teorema de π-Buckingham dice que los exponentes en esta expresión corresponden a los elementos del kernel de la matriz $\alpha^{A i}$, esto es, los vectores que $\alpha$ anula.

Por ejemplo, pensemos en un cuerpo en caída libre. Tenemos como cantidades que entran en la descripción la masa $m$ del objeto, el valor de $g$ gravitacional, el coeficiente de resistencia $k$ y la velocidad terminal $v_\infty$. La matriz de exponentes dimensionales
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0& 1& 0\cr
0 & 1& -1& 1\cr
0 & -2& 0& -1\cr
\end{pmatrix}
\]
tiene rango $3$, nulidad $1$ y kernel generado por
\[ [K] = \pmatrix{ 1 \cr -1 \cr 1 \cr 2 } .\]
Esto corresponde a una cantidad adimensional
\[
\frac{m k v_\infty^2}{g} = C,
\]
que podemos reexpresar como una relación que determina la dependencia de la velocidad terminal en las demás cantidades:
\[
v_\infty \propto \sqrt{\frac{g}{m k}}.
\]

Un comentario en “El Teorema π de Buckingham

  1. Froylán Suárez Terán

    Todo postulado matemático, puede asociarse a una aplicación física, a semejanza a la relación de equivalencia que tiene grandez aplicación física en el mundo de la informática, por eso no debes menospreciar los artículos de otras personas, sino demostrar, en forma científica tus aseveraciones.

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