PROYECCIONES DE LA EVOLUCIÓN DE LA EPIDEMIA COVID-19 EN GUANAJUATO (4 de Septiembre de 2020)

Guanajuato - Wikipedia

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Se presentan estimaciones futuras sobre la evolución de la pandemia de Covid-19 en el estado de Guanajuato con datos desde el 6 de abril de 2020 al 4 de Septiembre de 2020. El objetivo es proveer de un estimado de la evolución de la epidemia local en el estado, y el análisis se realiza mediante el empleo de herramientas validadas en el análisis de datos. Las proyecciones se hacen con base en los números proporcionados por la Secretaría de Salud del Estado de Guanajuato en sus reportes diarios. Por el carácter de crecimiento exponencial, el comportamiento social y otros factores en las epidemias, es importante tomar estos estimados con cuidado, y pensarlos como posibles escenarios en lugar de afirmaciones sobre futuro.

Utilizamos modelos de compartimientos, definidos por ecuaciones diferenciales con cuatro poblaciones (Susceptibles a enfermarse, Infectados, Recuperados y Muertos), cuya comparación con los datos sigue diferentes metodologías. Los parámetros se estiman de los datos, sin recurrir a estudios realizados bajo condiciones diferentes. El modelo toma en cuenta las intervenciones para controlar la epidemia a través del cambio en el tiempo de la tasa de contagio.  Para los detalles técnicos invitamos a ver el documento de la metodología y resultados.

PROYECCIONES

El número de casos confirmados y fallecidos en el corto y mediano plazo se presentan en la tabla 1, donde ponemos el día esperado junto con un margen de confianza del 95%. A su vez, incluimos la proyección de los puntos de inflexión en la tabla 2.

COMPARACIÓN DEL REPORTE ANTERIOR CON DATOS

CampoDatos realesCota inferior
(2.5%)
Predicción promedioCota Superior
(97.5%)
Casos confirmados acumulados35,10034,17035,08036,300
Fallecidos confirmados acumulados2,2922,2802,3502,410
Tabla 1a. Comparación de los Casos Confirmados y Fallecidos acumulados observados en México con respecto al reporte anterior, donde se incluyen los intervalos de confianza

ESTIMACIONES AL 11 DE SEPTIEMBRE DE 2020

CampoCota inferior (2.5%)Predicción promedioCota Superior (97.5%)
Casos confirmados acumulados35,95036,93038,060
Fallecidos confirmados acumulados2,4202,4902,560
Infectados totales (incluyendo asintomáticos)242,000249,000256,000
Tabla 1b. Casos Confirmados y Fallecidos en el corto plazo, con sus intervalos de confianza. Se han redondeado los números a su decena más cercana dado el orden de magnitud de las cantidades.

ESTIMACIONES AL 25 DE SEPTIEMBRE DE 2020

CampoCota inferior
(2.5%)
Predicción
promedio
Cota Superior
(97.5%)
Casos confirmados
acumulados
40,38041,89043,550
Fallecidos confirmados
acumulados
2,8302,9403,050
Infectados totales
(incluyendo asintomáticos)
283,000294,000305,000
Tabla 1c. Casos Confirmados y Fallecidos en el largo plazo, con sus intervalos de confianza. Se han redondeado los números a su decena más cercana dado el orden de magnitud de las cantidades.

ESTIMACIONES DE LOS MÁXIMOS Y EVOLUCIÓN GENERAL

CampoCota inferior
(2.5%)
Predicción promedioCota Superior
(97.5%)
Casos confirmados diarios10 de Ago.13 de Ago.19 de Ago.
Casos activos25 de Ago.29 de Ago.3 de Sept.
Fallecidos diarios25 de Ago.29 de Ago.3 de Sept.
90% de decesos totales14 de Nov.19 de Nov. 26 de Nov.
Tabla 2. Fechas en las que se alcanzan los máximos esperados para Casos Confirmados de cada día, los Casos Activos y Fallecidos diarios con sus intervalos de confianza. También se muestra la fecha en la que se alcanza el 90% de los fallecidos que tendrá la primer ola de la epidemia.

El número de infectados, que incluye casos asintomáticos y no detectados, es derivado asumiendo que la tasa de mortalidad sobre los casos infectados es del 1% de forma consistente con estudios de la literatura. En las gráficas de la Figura 1 observamos el modelo y sus proyecciones de los casos confirmados diarios y de los fallecidos acumulados.

Figura 1. Modelo matemático contra datos confirmados de infecciones diarias y de decesos acumulados. Las curvas sólidas son el promedio de la predicción

En la Figura 2 mostramos como se ha comportado el número de reproducción efectivo R en el estado. Manteniendo el comportamiento actual faltaría más de un mes para llegar cruza R=1, lo cual corresponde al máximo de casos activos. Se observa un valor bajo inicial comparado con el de todo el país, lográndose una excelente mitigación inicial, pero no ha habido mucho cambio desde esa fecha, excepto quizá por las últimas fechas. Esto indica que las medidas de contención no han sido suficientes para detener la infección ahora ni en un futuro cercano.

Figura 2.  Evolución temporal del número de reproducción R. El modelo predice el cruce R=1 el mismo día que los casos activos lleguen al máximo (bandas grises verticales). La línea negra vertical corresponde al último día de datos. Las infecciones secundarias se calculan a partir del cociente de promedios de infectados activos con un desfase de 5 días de incubación del virus (con un intervalo de confianza de 4 a 7 días).

CONCLUSIONES

Hemos visto un incremento considerable durante esta semana, opuesto al decremento de hace dos semanas, y que esperamos no provenga de una relajación de las medidas de mitigación. Estas fluctuaciones no han afectado a los decesos, pero habrá que esperar algunas semanas para observar posibles consecuencias. Las predicciones globales continúan similares a las de la semana pasada.

RECOMENDACIÓN GENERAL: Reforzar las medidas de mitigación impuestas por los gobiernos municipales, estatales y federal para reducir, en la medida de lo posible, nuevos contagios dentro del Estado de Guanajuato.

Agradecemos el apoyo otorgado por la Dirección de Investigación y Apoyo al Posgrado, de la Universidad de Guanajuato, a través de los proyectos: COVID19-UG 36/2020, 032/2020 del Programa de Desarrollo del Personal Docente (PRODEP), CIIC 290/2020;  del CONACYT a través de los proyectos AS1-17, A1-S- 37752; del Sistema Nacional de Investigadores, y la infraestructura del Laboratorio de Datos de la DCI-UG.

Investigadores participantes: Juan Barranco(1), Argelia Bernal(1), Nana Cabo(1), Alma González(1,2), Damián Mayorga(3), Gustavo Niz(1) y Luis Ureña(1). Estudiantes participantes: Guillermo Segura y Armando de la Cruz.

  1. Departamento de Física, DCI, UG – Campus León.
  2. Cátedra Conacyt.
  3. Instituto Mandelstam de Física Teórica, Universidad de Witwatersrand, Sudáfrica.

PROYECCIONES DE LA EVOLUCIÓN DE LA EPIDEMIA COVID-19 EN MÉXICO (Reporte 04/Septiembre/2020)

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Este reporte es elaborado por el Laboratorio de Datos, del Departamento de Física de la Universidad de Guanajuato, sobre la evolución de la pandemia de Covid-19 en México con datos hasta el 03 de Septiembre de 2020

Utilizamos modelos de compartimientos, definidos por ecuaciones diferenciales con cuatro poblaciones (Susceptibles a enfermarse, Infectados, Recuperados y Muertos), cuya comparación con los datos sigue diferentes metodologías. Los resultados de cinco análisis independientes convergen a un pronóstico similar. Mayores detalles pueden consultarse en el primer reporte.

COMPARACIÓN DEL REPORTE ANTERIOR CON DATOS

CampoDatos realesCota inferior
(2.5%)
Predicción promedioCota Superior
(97.5%)
Casos confirmados acumulados623,090568,000580,000591,000
Fallecidos confirmados acumulados66,85166,00067,00068,500
Tabla 1a. Comparación de los Casos Confirmados y Fallecidos acumulados observados en México con respecto al reporte anterior, donde se incluyen los intervalos de confianza.

ESTIMACIONES AL 11 DE SEPTIEMBRE DE 2020

CampoCota inferior(2.5%)Predicción promedioCota Superior(97.5%)
Casos confirmados acumulados600,000609,500620,000
Fallecidos confirmados acumulados69,00070,50071,500
Infectados totales (incluyendo asintomáticos)6,900,0007,050,0007,150,000
Tabla 1b. Casos Confirmados y Fallecidos en el corto plazo, con sus intervalos de confianza. Se han redondeado los números a su millar más cercano dado el orden de magnitud de las cantidades.

ESTIMACIONES AL FINAL DE LA PRIMERA OLA

CampoCota inferior
(2.5%)
Predicción
promedio
Cota Superior
(97.5%)
Casos confirmados
acumulados
700,000727,500755,500
Fallecidos confirmados
acumulados
83,50086,50090,000
Infectados totales
(incluyendo asintomáticos)
8,350,0008,650,0009,000,000
Tabla 1c. Casos Confirmados y Fallecidos en el largo plazo, con sus intervalos de confianza. Se han redondeado los números a su millar más cercano dado el orden de magnitud de las cantidades.

ESTIMACIONES DE LAS FECHAS DE LOS MÁXIMOS Y EVOLUCIÓN GENERAL

CampoCota inferior
(2.5%)
Predicción promedioCota Superior
(97.5%)
Casos confirmados diarios18 de Julio21 de Julio24 de Julio
Casos activos24 de Julio26 de Julio29 de Julio
Fallecidos diarios24 de Julio26 de Julio29 de Julio
90% de decesos finales28 de Sept.03 de Oct.09 de Oct.
Tabla 2. Fechas en las que se alcanzan los máximos esperados para Casos Confirmados de cada día, los Casos Activos y Fallecidos diarios con sus intervalos de confianza. También se muestra la fecha en la que se alcanza el 90% de los fallecidos que tendrá la primer ola de la epidemia.

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Figura 1. Modelo matemático contra datos confirmados de infecciones diarias y de decesos acumulados. Las curvas sólidas son el promedio de la predicción.
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Figura 2.  Evolución temporal del número de reproducción R. El modelo predice el cruce R=1 el mismo día que los casos activos lleguen al máximo (bandas grises verticales). La línea negra vertical corresponde al último día de datos. Las infecciones secundarias se calculan a partir del cociente de promedios de infectados activos con un desfase de 5 días de incubación del virus (con un intervalo de confianza de 4 a 7 días).

Los resultados anteriores se muestran de manera gráfica en la Figura 1, en donde se pueden apreciar los intervalos de confianza con las diferentes líneas. En el panel izquierdo se muestra la evolución del número diario de casos nuevos confirmados, y en el panel derecho el número de decesos acumulados. A su vez, en la Figura 2, mostramos el Número de Reproducción Efectivo, R, (que cuando cruza 1 corresponde al momento del máximo de los casos activos o de los fallecidos diarios), junto con las llamadas infecciones secundarias calculadas a partir de los datos.

CONCLUSIÓN DE ESTE REPORTE: La semana que pasó vio un incremento en las infecciones, llevando a un índice de reproducción superior a uno. Todavía es dificil saber si este incremento es producto de una fluctuación y que no influirá en los decesos, como ocurrió hace un mes, o bien, que las condiciones de mitigación se han relajado y estamos viendo un crecimiento de la epidemia. Es una llamada de atención a no bajar la guardia.

RECOMENDACIÓN GENERAL: Continuar con las medidas de mitigación impuestas por los gobiernos municipales, estatales y federal para reducir, en la medida de lo posible, nuevos contagios.

Agradecemos el apoyo otorgado por la Dirección de Investigación y Apoyo al Posgrado, de la Universidad de Guanajuato, a través del proyecto 036/2020 y de fondos en la convocatoria CIIC; del Programa de Desarrollo del Personal Docente (PRODEP) de la SEP; del CONACYT a través de los proyectos A1-S-17899, A1-S- 37752, 286897, 29777 y del Sistema Nacional de Investigadores; y la infraestructura del Laboratorio de Datos de la División de Ciencias e Ingenierías de la Universidad de Guanajuato.

Investigadores participantes: Juan Barranco(1), Argelia Bernal(1), Nana Cabo(1), Alma González(1,2), Damián Mayorga(3), Gustavo Niz(1) y Luis Ureña(1). Estudiantes participantes: Guillermo Segura y Armando de la Cruz.

  1. Departamento de Física, DCI, UG – Campus León.
  2. Cátedra Conacyt.
  3. Instituto Mandelstam de Física Teórica, Universidad de Witwatersrand, Sudáfrica.

PROYECCIONES DE LA EVOLUCIÓN DE LA EPIDEMIA COVID-19 EN GUANAJUATO (28 de Agosto de 2020)

Guanajuato - Wikipedia

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Se presentan estimaciones futuras sobre la evolución de la pandemia de Covid-19 en el estado de Guanajuato con datos desde el 6 de abril de 2020 al 28 de Agosto de 2020. El objetivo es proveer de un estimado de la evolución de la epidemia local en el estado, y el análisis se realiza mediante el empleo de herramientas validadas en el análisis de datos. Las proyecciones se hacen con base en los números proporcionados por la Secretaría de Salud del Estado de Guanajuato en sus reportes diarios. Por el carácter de crecimiento exponencial, el comportamiento social y otros factores en las epidemias, es importante tomar estos estimados con cuidado, y pensarlos como posibles escenarios en lugar de afirmaciones sobre futuro.

Utilizamos modelos de compartimientos, definidos por ecuaciones diferenciales con cuatro poblaciones (Susceptibles a enfermarse, Infectados, Recuperados y Muertos), cuya comparación con los datos sigue diferentes metodologías. Los parámetros se estiman de los datos, sin recurrir a estudios realizados bajo condiciones diferentes. El modelo toma en cuenta las intervenciones para controlar la epidemia a través del cambio en el tiempo de la tasa de contagio.  Para los detalles técnicos invitamos a ver el documento de la metodología y resultados.

PROYECCIONES

El número de casos confirmados y fallecidos en el corto y mediano plazo se presentan en la tabla 1, donde ponemos el día esperado junto con un margen de confianza del 95%. A su vez, incluimos la proyección de los puntos de inflexión en la tabla 2.

COMPARACIÓN DEL REPORTE ANTERIOR CON DATOS

CampoDatos realesCota inferior
(2.5%)
Predicción promedioCota Superior
(97.5%)
Casos confirmados acumulados32,22632,12033,10034,030
Fallecidos confirmados acumulados2,1042,1602,2102,280
Tabla 1a. Comparación de los Casos Confirmados y Fallecidos acumulados observados en México con respecto al reporte anterior, donde se incluyen los intervalos de confianza

ESTIMACIONES AL 4 DE SEPTIEMBRE DE 2020

CampoCota inferior (2.5%)Predicción promedioCota Superior (97.5%)
Casos confirmados acumulados34,17035,18036,300
Fallecidos confirmados acumulados2,2802,3502,410
Infectados totales (incluyendo asintomáticos)228,000235,000241,000
Tabla 1b. Casos Confirmados y Fallecidos en el corto plazo, con sus intervalos de confianza. Se han redondeado los números a su decena más cercana dado el orden de magnitud de las cantidades.

ESTIMACIONES AL 18 DE SEPTIEMBRE DE 2020

CampoCota inferior
(2.5%)
Predicción
promedio
Cota Superior
(97.5%)
Casos confirmados
acumulados
39,47040,91041,560
Fallecidos confirmados
acumulados
2,7702,8602,970
Infectados totales
(incluyendo asintomáticos)
277,000286,000297,000
Tabla 1c. Casos Confirmados y Fallecidos en el largo plazo, con sus intervalos de confianza. Se han redondeado los números a su decena más cercana dado el orden de magnitud de las cantidades.

ESTIMACIONES DE LOS MÁXIMOS Y EVOLUCIÓN GENERAL

CampoCota inferior
(2.5%)
Predicción promedioCota Superior
(97.5%)
Casos confirmados diarios12 de Ago.17 de Ago.22 de Ago.
Casos activos28 de Ago.1 de Sept.6 de Sept.
Fallecidos diarios28 de Ago.1 de Sept.6 de Sept.
Tabla 2. Fechas en las que se alcanzan los máximos esperados para Casos Confirmados de cada día, los Casos Activos y Fallecidos diarios con sus intervalos de confianza. También se muestra la fecha en la que se alcanza el 90% de los fallecidos que tendrá la primer ola de la epidemia.

El número de infectados, que incluye casos asintomáticos y no detectados, es derivado asumiendo que la tasa de mortalidad sobre los casos infectados es del 1% de forma consistente con estudios de la literatura. En las gráficas de la Figura 1 observamos el modelo y sus proyecciones de los casos confirmados diarios y de los fallecidos acumulados.

Figura 1. Modelo matemático contra datos confirmados de infecciones diarias y de decesos acumulados. Las curvas sólidas son el promedio de la predicción

En la Figura 2 mostramos como se ha comportado el número de reproducción efectivo R en el estado. Manteniendo el comportamiento actual faltaría más de un mes para llegar cruza R=1, lo cual corresponde al máximo de casos activos. Se observa un valor bajo inicial comparado con el de todo el país, lográndose una excelente mitigación inicial, pero no ha habido mucho cambio desde esa fecha, excepto quizá por las últimas fechas. Esto indica que las medidas de contención no han sido suficientes para detener la infección ahora ni en un futuro cercano.

Figura 2.  Evolución temporal del número de reproducción R. El modelo predice el cruce R=1 el mismo día que los casos activos lleguen al máximo (bandas grises verticales). La línea negra vertical corresponde al último día de datos. Las infecciones secundarias se calculan a partir del cociente de promedios de infectados activos con un desfase de 5 días de incubación del virus (con un intervalo de confianza de 4 a 7 días).

CONCLUSIONES

Al igual que en la semana pasada, el modelo ha decrecido gracias al bajo número de contagio y decesos registrados. El decremento ha movido los máximos de casos diarios sustancialmente y al parecer ya nos encontramos en la fase de descenso en contagios. Sin embargo, dada la mayor apertura de las actividades económicas y mayor movilidad, es importante continuar con medidas de contención para evitar brotes importantes que cambien las predicciones.

RECOMENDACIÓN GENERAL: Reforzar las medidas de mitigación impuestas por los gobiernos municipales, estatales y federal para reducir, en la medida de lo posible, nuevos contagios dentro del Estado de Guanajuato.

Agradecemos el apoyo otorgado por la Dirección de Investigación y Apoyo al Posgrado, de la Universidad de Guanajuato, a través de los proyectos: COVID19-UG 36/2020, 032/2020 del Programa de Desarrollo del Personal Docente (PRODEP), CIIC 290/2020;  del CONACYT a través de los proyectos AS1-17, A1-S- 37752; del Sistema Nacional de Investigadores, y la infraestructura del Laboratorio de Datos de la DCI-UG.

Investigadores participantes: Juan Barranco(1), Argelia Bernal(1), Nana Cabo(1), Alma González(1,2), Damián Mayorga(3), Gustavo Niz(1) y Luis Ureña(1). Estudiantes participantes: Guillermo Segura y Armando de la Cruz.

  1. Departamento de Física, DCI, UG – Campus León.
  2. Cátedra Conacyt.
  3. Instituto Mandelstam de Física Teórica, Universidad de Witwatersrand, Sudáfrica.

PROYECCIONES DE LA EVOLUCIÓN DE LA EPIDEMIA COVID-19 EN MÉXICO (Reporte 28/Agosto/2020)

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Este reporte es elaborado por el Laboratorio de Datos, del Departamento de Física de la Universidad de Guanajuato, sobre la evolución de la pandemia de Covid-19 en México con datos hasta el 27 de Agosto de 2020

Utilizamos modelos de compartimientos, definidos por ecuaciones diferenciales con cuatro poblaciones (Susceptibles a enfermarse, Infectados, Recuperados y Muertos), cuya comparación con los datos sigue diferentes metodologías. Los resultados de cinco análisis independientes convergen a un pronóstico similar. Mayores detalles pueden consultarse en el primer reporte.

COMPARACIÓN DEL REPORTE ANTERIOR CON DATOS

CampoDatos realesCota inferior
(2.5%)
Predicción promedioCota Superior
(97.5%)
Casos confirmados acumulados585,738538,500549,000558,500
Fallecidos confirmados acumulados63,14663,00064,00065,500
Tabla 1a. Comparación de los Casos Confirmados y Fallecidos acumulados observados en México con respecto al reporte anterior, donde se incluyen los intervalos de confianza.

ESTIMACIONES AL 04 DE SEPTIEMBRE DE 2020

CampoCota inferior(2.5%)Predicción promedioCota Superior(97.5%)
Casos confirmados acumulados568,000580,000591,000
Fallecidos confirmados acumulados66,00067,00068,500
Infectados totales (incluyendo asintomáticos)6,600,0006,700,0006,850,000
Tabla 1b. Casos Confirmados y Fallecidos en el corto plazo, con sus intervalos de confianza. Se han redondeado los números a su millar más cercano dado el orden de magnitud de las cantidades.

ESTIMACIONES AL FINAL DE LA PRIMERA OLA (DIC. 2020)

CampoCota inferior
(2.5%)
Predicción
promedio
Cota Superior
(97.5%)
Casos confirmados
acumulados
681,000718,000759,000
Fallecidos confirmados
acumulados
82,00086,50092,000
Infectados totales
(incluyendo asintomáticos)
8,200,0008,650,0009,200,000
Tabla 1c. Casos Confirmados y Fallecidos en el largo plazo, con sus intervalos de confianza. Se han redondeado los números a su millar más cercano dado el orden de magnitud de las cantidades.

ESTIMACIONES DE LAS FECHAS DE LOS MÁXIMOS Y EVOLUCIÓN GENERAL

CampoCota inferior
(2.5%)
Predicción promedioCota Superior
(97.5%)
Casos confirmados diarios18 de Julio21 de Julio25 de Julio
Casos activos24 de Julio27 de Julio31 de Julio
Fallecidos diarios24 de Julio27 de Julio31 de Julio
90% de decesos finales27 de Sept.03 de Oct.09 de Oct.
Tabla 2. Fechas en las que se alcanzan los máximos esperados para Casos Confirmados de cada día, los Casos Activos y Fallecidos diarios con sus intervalos de confianza. También se muestra la fecha en la que se alcanza el 90% de los fallecidos que tendrá la primer ola de la epidemia.

Figura 1. Modelo matemático contra datos confirmados de infecciones diarias y de decesos acumulados. Las curvas sólidas son el promedio de la predicción.
Figura 2.  Evolución temporal del número de reproducción R. El modelo predice el cruce R=1 el mismo día que los casos activos lleguen al máximo (bandas grises verticales). La línea negra vertical corresponde al último día de datos. Las infecciones secundarias se calculan a partir del cociente de promedios de infectados activos con un desfase de 5 días de incubación del virus (con un intervalo de confianza de 4 a 7 días).

Los resultados anteriores se muestran de manera gráfica en la Figura 1, en donde se pueden apreciar los intervalos de confianza con las diferentes líneas. En el panel izquierdo se muestra la evolución del número diario de casos nuevos confirmados, y en el panel derecho el número de decesos acumulados. A su vez, en la Figura 2, mostramos el Número de Reproducción Efectivo, R, (que cuando cruza 1 corresponde al momento del máximo de los casos activos o de los fallecidos diarios), junto con las llamadas infecciones secundarias calculadas a partir de los datos.

CONCLUSIÓN DE ESTE REPORTE: Como ya hemos mencionado, los casos acumulados diarios mostraron un incremento por arriba del modelo en el último mes. Sin embargo, en las últimas dos semana se apegan de nuevo al modelo. Por lo mismo, no se observan cambios importantes en la fecha en que alcanzaremos el 90% de los muertos totales acumulados, y aunque los datos muestran sobre todo la evolución de los estados más afectados, se espera que las zonas atrasadas del país también hayan comenzado el descenso.

RECOMENDACIÓN GENERAL: Continuar con las medidas de mitigación impuestas por los gobiernos municipales, estatales y federal para reducir, en la medida de lo posible, nuevos contagios.

Agradecemos el apoyo otorgado por la Dirección de Investigación y Apoyo al Posgrado, de la Universidad de Guanajuato, a través del proyecto 036/2020 y de fondos en la convocatoria CIIC; del Programa de Desarrollo del Personal Docente (PRODEP) de la SEP; del CONACYT a través de los proyectos A1-S-17899, A1-S- 37752, 286897, 29777 y del Sistema Nacional de Investigadores; y la infraestructura del Laboratorio de Datos de la División de Ciencias e Ingenierías de la Universidad de Guanajuato.

Investigadores participantes: Juan Barranco(1), Argelia Bernal(1), Nana Cabo(1), Alma González(1,2), Damián Mayorga(3), Gustavo Niz(1) y Luis Ureña(1). Estudiantes participantes: Guillermo Segura y Armando de la Cruz.

  1. Departamento de Física, DCI, UG – Campus León.
  2. Cátedra Conacyt.
  3. Instituto Mandelstam de Física Teórica, Universidad de Witwatersrand, Sudáfrica.

PROYECCIONES DE LA EVOLUCIÓN DE LA EPIDEMIA COVID-19 EN MÉXICO (Reporte 21/Agosto/2020)

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Este reporte es elaborado por el Laboratorio de Datos, del Departamento de Física de la Universidad de Guanajuato, sobre la evolución de la pandemia de Covid-19 en México con datos hasta el 21 de Agosto de 2020

Utilizamos modelos de compartimientos, definidos por ecuaciones diferenciales con cuatro poblaciones (Susceptibles a enfermarse, Infectados, Recuperados y Muertos), cuya comparación con los datos sigue diferentes metodologías. Los resultados de cinco análisis independientes convergen a un pronóstico similar. Mayores detalles pueden consultarse en el primer reporte.

COMPARACIÓN DEL REPORTE ANTERIOR CON DATOS

CampoDatos realesCota inferior
(2.5%)
Predicción promedioCota Superior
(97.5%)
Casos confirmados acumulados549,734501,000511,500521,000
Fallecidos confirmados acumulados59,61059,00060,50062,000
Tabla 1a. Comparación de los Casos Confirmados y Fallecidos acumulados observados en México con respecto al reporte anterior, donde se incluyen los intervalos de confianza.

ESTIMACIONES AL 28 DE AGOSTO DE 2020

CampoCota inferior(2.5%)Predicción promedioCota Superior(97.5%)
Casos confirmados acumulados538,500549,000558,500
Fallecidos confirmados acumulados63,00064,00065,500
Infectados totales (incluyendo asintomáticos)6,300,0006,400,0006,550,000
Tabla 1b. Casos Confirmados y Fallecidos en el corto plazo, con sus intervalos de confianza. Se han redondeado los números a su millar más cercano dado el orden de magnitud de las cantidades.

ESTIMACIONES AL FINAL DE LA PRIMERA OLA (DIC. 2020)

CampoCota inferior
(2.5%)
Predicción
promedio
Cota Superior
(97.5%)
Casos confirmados
acumulados
674,000712,500755,500
Fallecidos confirmados
acumulados
82,00087,00092,000
Infectados totales
(incluyendo asintomáticos)
8,200,0008,700,0009,200,000
Tabla 1c. Casos Confirmados y Fallecidos en el largo plazo, con sus intervalos de confianza. Se han redondeado los números a su millar más cercano dado el orden de magnitud de las cantidades.

ESTIMACIONES DE LAS FECHAS DE LOS MÁXIMOS Y EVOLUCIÓN GENERAL

CampoCota inferior
(2.5%)
Predicción promedioCota Superior
(97.5%)
Casos confirmados diarios17 de Julio20 de Julio24 de Julio
Casos activos23 de Julio25 de Julio29 de Julio
Fallecidos diarios23 de Julio25 de Julio29 de Julio
90% de decesos finales25 de Sept.01 de Oct.09 de Oct.
Tabla 2. Fechas en las que se alcanzan los máximos esperados para Casos Confirmados de cada día, los Casos Activos y Fallecidos diarios con sus intervalos de confianza. También se muestra la fecha en la que se alcanza el 90% de los fallecidos que tendrá la primer ola de la epidemia.

Figura 1. Modelo matemático contra datos confirmados de infecciones diarias y de decesos acumulados. Las curvas sólidas son el promedio de la predicción.
Figura 2.  Evolución temporal del número de reproducción R. El modelo predice el cruce R=1 el mismo día que los casos activos lleguen al máximo (bandas grises verticales). La línea negra vertical corresponde al último día de datos. Las infecciones secundarias se calculan a partir del cociente de promedios de infectados activos con un desfase de 5 días de incubación del virus (con un intervalo de confianza de 4 a 7 días).

Los resultados anteriores se muestran de manera gráfica en la Figura 1, en donde se pueden apreciar los intervalos de confianza con las diferentes líneas. En el panel izquierdo se muestra la evolución del número diario de casos nuevos confirmados, y en el panel derecho el número de decesos acumulados. A su vez, en la Figura 2, mostramos el Número de Reproducción Efectivo, R, (que cuando cruza 1 corresponde al momento del máximo de los casos activos o de los fallecidos diarios), junto con las llamadas infecciones secundarias calculadas a partir de los datos.

CONCLUSIÓN DE ESTE REPORTE: Como ya hemos mencionado, los casos acumulados diarios mostraron un incremento por arriba del modelo en el último mes. Sin embargo, en la última semana se apegan de nuevo al modelo. Por lo mismo, no se observan cambios importantes en la fecha en que alcanzaremos el 90% de los muertos totales acumulados, y aunque los datos muestran sobre todo la evolución de los estados más afectados, se espera que los las zonas atrasadas del país también hayan comenzado el descenso.

RECOMENDACIÓN GENERAL: Continuar con las medidas de mitigación impuestas por los gobiernos municipales, estatales y federal para reducir, en la medida de lo posible, nuevos contagios.

Agradecemos el apoyo otorgado por la Dirección de Investigación y Apoyo al Posgrado, de la Universidad de Guanajuato, a través del proyecto 036/2020 y de fondos en la convocatoria CIIC; del Programa de Desarrollo del Personal Docente (PRODEP) de la SEP; del CONACYT a través de los proyectos A1-S-17899, A1-S- 37752, 286897, 29777 y del Sistema Nacional de Investigadores; y la infraestructura del Laboratorio de Datos de la División de Ciencias e Ingenierías de la Universidad de Guanajuato.

Investigadores participantes: Juan Barranco(1), Argelia Bernal(1), Nana Cabo(1), Alma González(1,2), Damián Mayorga(3), Gustavo Niz(1) y Luis Ureña(1). Estudiantes participantes: Guillermo Segura y Armando de la Cruz.

  1. Departamento de Física, DCI, UG – Campus León.
  2. Cátedra Conacyt.
  3. Instituto Mandelstam de Física Teórica, Universidad de Witwatersrand, Sudáfrica.

PROYECCIONES DE LA EVOLUCIÓN DE LA EPIDEMIA COVID-19 EN GUANAJUATO (21 de Agosto de 2020)

Guanajuato - Wikipedia

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Se presentan estimaciones futuras sobre la evolución de la pandemia de Covid-19 en el estado de Guanajuato con datos desde el 6 de abril de 2020 al 21 de Agosto de 2020. El objetivo es proveer de un estimado de la evolución de la epidemia local en el estado, y el análisis se realiza mediante el empleo de herramientas validadas en el análisis de datos. Las proyecciones se hacen con base en los números proporcionados por la Secretaría de Salud del Estado de Guanajuato en sus reportes diarios. Por el carácter de crecimiento exponencial, el comportamiento social y otros factores en las epidemias, es importante tomar estos estimados con cuidado, y pensarlos como posibles escenarios en lugar de afirmaciones sobre futuro.

Utilizamos modelos de compartimientos, definidos por ecuaciones diferenciales con cuatro poblaciones (Susceptibles a enfermarse, Infectados, Recuperados y Muertos), cuya comparación con los datos sigue diferentes metodologías. Los parámetros se estiman de los datos, sin recurrir a estudios realizados bajo condiciones diferentes. El modelo toma en cuenta las intervenciones para controlar la epidemia a través del cambio en el tiempo de la tasa de contagio.  Para los detalles técnicos invitamos a ver el documento de la metodología y resultados.

PROYECCIONES

El número de casos confirmados y fallecidos en el corto y mediano plazo se presentan en la tabla 1, donde ponemos el día esperado junto con un margen de confianza del 95%. A su vez, incluimos la proyección de los puntos de inflexión en la tabla 2.

COMPARACIÓN DEL REPORTE ANTERIOR CON DATOS

CampoDatos realesCota inferior
(2.5%)
Predicción promedioCota Superior
(97.5%)
Casos confirmados acumulados30,19629.43030,25031,160
Fallecidos confirmados acumulados1,8392,0002,0502,100
Tabla 1a. Comparación de los Casos Confirmados y Fallecidos acumulados observados en México con respecto al reporte anterior, donde se incluyen los intervalos de confianza

ESTIMACIONES AL 28 DE AGOSTO DE 2020

CampoCota inferior (2.5%)Predicción promedioCota Superior (97.5%)
Casos confirmados acumulados32,12033,10034,030
Fallecidos confirmados acumulados2,1602,2102,280
Infectados totales (incluyendo asintomáticos)216,000221,000228,000
Tabla 1b. Casos Confirmados y Fallecidos en el corto plazo, con sus intervalos de confianza. Se han redondeado los números a su decena más cercana dado el orden de magnitud de las cantidades.

ESTIMACIONES AL 11 DE SEPTIEMBRE DE 2020

CampoCota inferior
(2.5%)
Predicción
promedio
Cota Superior
(97.5%)
Casos confirmados
acumulados
38,28039,97041,560
Fallecidos confirmados
acumulados
2,6702,8002,920
Infectados totales
(incluyendo asintomáticos)
267,000280,000292,000
Tabla 1c. Casos Confirmados y Fallecidos en el largo plazo, con sus intervalos de confianza. Se han redondeado los números a su decena más cercana dado el orden de magnitud de las cantidades.

ESTIMACIONES DE LOS MÁXIMOS Y EVOLUCIÓN GENERAL

CampoCota inferior
(2.5%)
Predicción promedioCota Superior
(97.5%)
Casos confirmados diarios16 de Ago.22 de Ago.27 de Ago.
Casos activos1 de Sept.8 de Sept.13 de Sept.
Fallecidos diarios1 de Sept.8 de Sept.13 de Sept.
Tabla 2. Fechas en las que se alcanzan los máximos esperados para Casos Confirmados de cada día, los Casos Activos y Fallecidos diarios con sus intervalos de confianza. También se muestra la fecha en la que se alcanza el 90% de los fallecidos que tendrá la primer ola de la epidemia.

El número de infectados, que incluye casos asintomáticos y no detectados, es derivado asumiendo que la tasa de mortalidad sobre los casos infectados es del 1% de forma consistente con estudios de la literatura. En las gráficas de la Figura 1 observamos el modelo y sus proyecciones de los casos confirmados diarios y de los fallecidos acumulados.

Figura 1. Modelo matemático contra datos confirmados de infecciones diarias y de decesos acumulados. Las curvas sólidas son el promedio de la predicción

En la Figura 2 mostramos como se ha comportado el número de reproducción efectivo R en el estado. Manteniendo el comportamiento actual faltaría más de un mes para llegar cruza R=1, lo cual corresponde al máximo de casos activos. Se observa un valor bajo inicial comparado con el de todo el país, lográndose una excelente mitigación inicial, pero no ha habido mucho cambio desde esa fecha, excepto quizá por las últimas fechas. Esto indica que las medidas de contención no han sido suficientes para detener la infección ahora ni en un futuro cercano.

Figura 2.  Evolución temporal del número de reproducción R. El modelo predice el cruce R=1 el mismo día que los casos activos lleguen al máximo (bandas grises verticales). La línea negra vertical corresponde al último día de datos. Las infecciones secundarias se calculan a partir del cociente de promedios de infectados activos con un desfase de 5 días de incubación del virus (con un intervalo de confianza de 4 a 7 días).

CONCLUSIONES

El modelo ha decrecido de nuevo gracias al bajo nuevo de decesos, como en semanas anteriores. El decremento ha movido al máximo de casos diarios sustancialmente y ahora nos encontramos prontos a comenzar el descenso. De continuar como hasta el momento con las acciones de mitigación en el Estado podremos alcanzar a los estados más afectados del país y terminar de forma conjunta con la primera ola de contagios.

RECOMENDACIÓN GENERAL: Reforzar las medidas de mitigación impuestas por los gobiernos municipales, estatales y federal para reducir, en la medida de lo posible, nuevos contagios dentro del Estado de Guanajuato.

Agradecemos el apoyo otorgado por la Dirección de Investigación y Apoyo al Posgrado, de la Universidad de Guanajuato, a través de los proyectos: COVID19-UG 36/2020, 032/2020 del Programa de Desarrollo del Personal Docente (PRODEP), CIIC 290/2020;  del CONACYT a través de los proyectos AS1-17, A1-S- 37752; del Sistema Nacional de Investigadores, y la infraestructura del Laboratorio de Datos de la DCI-UG.

Investigadores participantes: Juan Barranco(1), Argelia Bernal(1), Nana Cabo(1), Alma González(1,2), Damián Mayorga(3), Gustavo Niz(1) y Luis Ureña(1). Estudiantes participantes: Guillermo Segura y Armando de la Cruz.

  1. Departamento de Física, DCI, UG – Campus León.
  2. Cátedra Conacyt.
  3. Instituto Mandelstam de Física Teórica, Universidad de Witwatersrand, Sudáfrica.

PROYECCIONES DE LA EVOLUCIÓN DE LA EPIDEMIA COVID-19 EN MÉXICO (Reporte 14/Agosto/2020)

Versión descargable en PDF

Este reporte es elaborado por el Laboratorio de Datos, del Departamento de Física de la Universidad de Guanajuato, sobre la evolución de la pandemia de Covid-19 en México con datos hasta el 13 de Agosto de 2020

Utilizamos modelos de compartimientos, definidos por ecuaciones diferenciales con cuatro poblaciones (Susceptibles a enfermarse, Infectados, Recuperados y Muertos), cuya comparación con los datos sigue diferentes metodologías. Los resultados de cinco análisis independientes convergen a un pronóstico similar. Mayores detalles pueden consultarse en el primer reporte.

COMPARACIÓN DEL REPORTE ANTERIOR CON DATOS

CampoDatos realesCota inferior
(2.5%)
Predicción promedioCota Superior
(97.5%)
Casos confirmados acumulados511,369458,000469,000478,000
Fallecidos confirmados acumulados55,90855,00056,00057,000
Tabla 1a. Comparación de los Casos Confirmados y Fallecidos acumulados observados en México con respecto al reporte anterior, donde se incluyen los intervalos de confianza

ESTIMACIONES AL 21 DE AGOSTO DE 2020

CampoCota inferior(2.5%)Predicción promedioCota Superior(97.5%)
Casos confirmados acumulados501,000511,500521,000
Fallecidos confirmados acumulados59,00060,50062,000
Infectados totales (incluyendo asintomáticos)5,900,0006,050,0006,200,000
Tabla 1b. Casos Confirmados y Fallecidos en el corto plazo, con sus intervalos de confianza. Se han redondeado los números a su millar más cercano dado el orden de magnitud de las cantidades.

ESTIMACIONES AL FINAL DE LA PRIMERA OLA (DIC. 2020)

CampoCota inferior
(2.5%)
Predicción
promedio
Cota Superior
(97.5%)
Casos confirmados
acumulados
648,500694,000751,000
Fallecidos confirmados
acumulados
80,00086,00094,000
Infectados totales
(incluyendo asintomáticos)
8,000,0008,600,0009,400,000
Tabla 1c. Casos Confirmados y Fallecidos en el largo plazo, con sus intervalos de confianza. Se han redondeado los números a su millar más cercano dado el orden de magnitud de las cantidades.

ESTIMACIONES DE LAS FECHAS DE LOS MÁXIMOS Y EVOLUCIÓN GENERAL

CampoCota inferior
(2.5%)
Predicción promedioCota Superior
(97.5%)
Casos confirmados diarios16 de Julio19 de Julio24 de Julio
Casos activos22 de Julio25 de Julio30 de Julio
Fallecidos diarios22 de Julio25 de Julio30 de Julio
90% de decesos finales24 de Sept.30 de Sept.11 de Oct.
Tabla 2. Fechas en las que se alcanzan los máximos esperados para Casos Confirmados de cada día, los Casos Activos y Fallecidos diarios con sus intervalos de confianza. También se muestra la fecha en la que se alcanza el 90% de los fallecidos que tendrá la primer ola de la epidemia.

Figura 1. Modelo matemático contra datos confirmados de infecciones diarias y de decesos acumulados. Las curvas sólidas son el promedio de la predicción
Figura 2.  Evolución temporal del número de reproducción R. El modelo predice el cruce R=1 el mismo día que los casos activos lleguen al máximo (bandas grises verticales). La línea negra vertical corresponde al último día de datos. Las infecciones secundarias se calculan a partir del cociente de promedios de infectados activos con un desfase de 5 días de incubación del virus (con un intervalo de confianza de 4 a 7 días).

Los resultados anteriores se muestran de manera gráfica en la Figura 1, en donde se pueden apreciar los intervalos de confianza con las diferentes líneas. En el panel izquierdo se muestra la evolución del número diario de casos nuevos confirmados, y en el panel derecho el número de decesos acumulados. A su vez, en la Figura 2, mostramos el Número de Reproducción Efectivo, R, (que cuando cruza 1 corresponde al momento del máximo de los casos activos o de los fallecidos diarios), junto con las llamadas infecciones secundarias calculadas a partir de los datos.

CONCLUSIÓN DE ESTE REPORTE: El aumento en los casos confirmados que hemos reportado desde hace semanas, que se encuentra por arriba del modelo y es evidente en los infectados secundarios, subió las predicciones totales del modelo con respecto a las semanas anteriores. Nos encontramos en una clara fase descendente en los Estados con más casos (con un R<1). Sin embargo, existen entidades con retraso que pueden llevar a discrepancias entre los datos y el modelo en las semanas posteriores.

RECOMENDACIÓN GENERAL: Continuar con las medidas de mitigación impuestas por los gobiernos municipales, estatales y federal para reducir, en la medida de lo posible, nuevos contagios.

Agradecemos el apoyo otorgado por la Dirección de Investigación y Apoyo al Posgrado, de la Universidad de Guanajuato, a través del proyecto 036/2020 y de fondos en la convocatoria CIIC; del Programa de Desarrollo del Personal Docente (PRODEP) de la SEP; del CONACYT a través de los proyectos A1-S-17899, A1-S- 37752, 286897, 29777 y del Sistema Nacional de Investigadores; y la infraestructura del Laboratorio de Datos de la División de Ciencias e Ingenierías de la Universidad de Guanajuato.

Investigadores participantes: Juan Barranco(1), Argelia Bernal(1), Nana Cabo(1), Alma González(1,2), Damián Mayorga(3), Gustavo Niz(1) y Luis Ureña(1). Estudiantes participantes: Guillermo Segura y Armando de la Cruz.

  1. Departamento de Física, DCI, UG – Campus León.
  2. Cátedra Conacyt.
  3. Instituto Mandelstam de Física Teórica, Universidad de Witwatersrand, Sudáfrica.

PROYECCIONES DE LA EVOLUCIÓN DE LA EPIDEMIA COVID-19 EN GUANAJUATO (14 de Agosto de 2020)

Guanajuato - Wikipedia

Versión descargable en PDF

Se presentan estimaciones futuras sobre la evolución de la pandemia de Covid-19 en el estado de Guanajuato con datos desde el 6 de abril de 2020 al 14 de Agosto de 2020. El objetivo es proveer de un estimado de la evolución de la epidemia local en el estado, y el análisis se realiza mediante el empleo de herramientas validadas en el análisis de datos. Las proyecciones se hacen con base en los números proporcionados por la Secretaría de Salud del Estado de Guanajuato en sus reportes diarios. Por el carácter de crecimiento exponencial, el comportamiento social y otros factores en las epidemias, es importante tomar estos estimados con cuidado, y pensarlos como posibles escenarios en lugar de afirmaciones sobre futuro.

Utilizamos modelos de compartimientos, definidos por ecuaciones diferenciales con cuatro poblaciones (Susceptibles a enfermarse, Infectados, Recuperados y Muertos), cuya comparación con los datos sigue diferentes metodologías. Los parámetros se estiman de los datos, sin recurrir a estudios realizados bajo condiciones diferentes. El modelo toma en cuenta las intervenciones para controlar la epidemia a través del cambio en el tiempo de la tasa de contagio.  Para los detalles técnicos invitamos a ver el documento de la metodología y resultados.

PROYECCIONES

El número de casos confirmados y fallecidos en el corto y mediano plazo se presentan en la tabla 1, donde ponemos el día esperado junto con un margen de confianza del 95%. A su vez, incluimos la proyección de los puntos de inflexión en la tabla 2.

COMPARACIÓN DEL REPORTE ANTERIOR CON DATOS

CampoDatos realesCota inferior
(2.5%)
Predicción promedioCota Superior
(97.5%)
Casos confirmados acumulados27,83226,86027,59028,470
Fallecidos confirmados acumulados1,6511,8001,8501,900
Tabla 1a. Comparación de los Casos Confirmados y Fallecidos acumulados observados en México con respecto al reporte anterior, donde se incluyen los intervalos de confianza

ESTIMACIONES AL 21 DE AGOSTO DE 2020

CampoCota inferior (2.5%)Predicción promedioCota Superior (97.5%)
Casos confirmados acumulados29,43030,25031,160
Fallecidos confirmados acumulados2,0002,0502,100
Infectados totales (incluyendo asintomáticos)200,00205,000210,000
Tabla 1b. Casos Confirmados y Fallecidos en el corto plazo, con sus intervalos de confianza. Se han redondeado los números a su decena más cercana dado el orden de magnitud de las cantidades.

ESTIMACIONES AL 4 DE SEPTIEMBRE DE 2020

CampoCota inferior
(2.5%)
Predicción
promedio
Cota Superior
(97.5%)
Casos confirmados
acumulados
36,95038,58040,230
Fallecidos confirmados
acumulados
2,6502,7502,840
Infectados totales
(incluyendo asintomáticos)
265,000275,000284,000
Tabla 1c. Casos Confirmados y Fallecidos en el largo plazo, con sus intervalos de confianza. Se han redondeado los números a su decena más cercana dado el orden de magnitud de las cantidades.

ESTIMACIONES DE LOS MÁXIMOS Y EVOLUCIÓN GENERAL

CampoCota inferior
(2.5%)
Predicción promedioCota Superior
(97.5%)
Casos confirmados diarios28 de Ago.3 de Sept.10 de Sept.
Casos activos15 de Sept.21 de Sept.28 de Sept.
Fallecidos diarios15 de Sept.21 de Sept.28 de Sept.
Tabla 2. Fechas en las que se alcanzan los máximos esperados para Casos Confirmados de cada día, los Casos Activos y Fallecidos diarios con sus intervalos de confianza. También se muestra la fecha en la que se alcanza el 90% de los fallecidos que tendrá la primer ola de la epidemia.

El número de infectados, que incluye casos asintomáticos y no detectados, es derivado asumiendo que la tasa de mortalidad sobre los casos infectados es del 1% de forma consistente con estudios de la literatura. En las gráficas de la Figura 1 observamos el modelo y sus proyecciones de los casos confirmados diarios y de los fallecidos acumulados.

Figura 1. Modelo matemático contra datos confirmados de infecciones diarias y de decesos acumulados. Las curvas sólidas son el promedio de la predicción

En la Figura 2 mostramos como se ha comportado el número de reproducción efectivo R en el estado. Manteniendo el comportamiento actual faltaría más de un mes para llegar cruza R=1, lo cual corresponde al máximo de casos activos. Se observa un valor bajo inicial comparado con el de todo el país, lográndose una excelente mitigación inicial, pero no ha habido mucho cambio desde esa fecha, excepto quizá por las últimas fechas. Esto indica que las medidas de contención no han sido suficientes para detener la infección ahora ni en un futuro cercano.

Figura 2.  Evolución temporal del número de reproducción R. El modelo predice el cruce R=1 el mismo día que los casos activos lleguen al máximo (bandas grises verticales). La línea negra vertical corresponde al último día de datos. Las infecciones secundarias se calculan a partir del cociente de promedios de infectados activos con un desfase de 5 días de incubación del virus (con un intervalo de confianza de 4 a 7 días).

CONCLUSIONES

De nueva cuenta los decesos han sido menos que los predichos por el modelo. Esto lleva a un adelanto en la fecha del máximo en los casos confirmados, que se espera para el 3 de Septiembre (28 de Agosto y 10 de Septiembre). De continuar las tendencia de mitigación en el Estado, probablemente se reduzca aún más las proyecciones del modelo en las próximas semanas.

RECOMENDACIÓN GENERAL: Reforzar las medidas de mitigación impuestas por los gobiernos municipales, estatales y federal para reducir, en la medida de lo posible, nuevos contagios dentro del Estado de Guanajuato.

Agradecemos el apoyo otorgado por la Dirección de Investigación y Apoyo al Posgrado, de la Universidad de Guanajuato, a través de los proyectos: COVID19-UG 36/2020, 032/2020 del Programa de Desarrollo del Personal Docente (PRODEP), CIIC 290/2020;  del CONACYT a través de los proyectos AS1-17, A1-S- 37752; del Sistema Nacional de Investigadores, y la infraestructura del Laboratorio de Datos de la DCI-UG.

Investigadores participantes: Juan Barranco(1), Argelia Bernal(1), Nana Cabo(1), Alma González(1,2), Damián Mayorga(3), Gustavo Niz(1) y Luis Ureña(1). Estudiantes participantes: Guillermo Segura y Armando de la Cruz.

  1. Departamento de Física, DCI, UG – Campus León.
  2. Cátedra Conacyt.
  3. Instituto Mandelstam de Física Teórica, Universidad de Witwatersrand, Sudáfrica.